Planoan ekuazioa: nola egin? Motak hegazkina ekuazioak

Hegazkin espazioa modu ezberdinetan (dot bat eta bektore, bektore eta bi puntu, hiru puntu, eta abar) definitu daiteke. Hori kontuan hartuta, hegazkina ekuazioa mota desberdinak izan ditzakete da. Era berean, baldintza jakin batzuetan planoan egon daitezke paraleloan, perpendikularra, intersecting, eta abar Hau eta artikulu honetan hitz egiteko. planoan, eta ez soilik ekuazio orokorra egin ahal izango dugu.

ekuazioa forma normala

Demagun R espazioa _3, bertan ditu laukizuzena koordinatu sistema XYZ da. bektorea α bat, abiapuntua O. kaleratu egingo bektorea α amaieran bidez marrazteko hegazkina P hau da perpendikularra da definitu dugu.

Adierazteko P batekin arbitrarioak point Q = (x, y, z) at. erradioak point Q zeinu gutun p la bektorea. bektore luzera α p = IαI eta Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) berdin.

unitate bektore honek, norabide bektorea α gisa ere zuzendu. α, β eta γ - hori bektorea eta norabide positibo artean sortzen dira angelu Ʋ espazio ardatzak x, y, z hurrenez hurren. Bektore QεP Ʋ puntu bat proiekzioa konstante bat da, p (p, Ʋ) = p (r≥0) berdina da.

Goiko ekuazioa esanguratsua da, p = 0. The n kasu honetan hegazkina bakarrik, puntua O (α = 0), horrek jatorria da, eta unitate bektore Ʋ, puntua O-tik kaleratu zeharkatuko luke P perpendikularra izango da, bere norabidea, eta horrek esan nahi du bektore Ʋ zehaztuko duten arren zeinua arte. Aurreko ekuazioa gure hegazkina P da, bektore eran adierazten da. Baina bere koordenadak ikusita dago:

P baino handiagoa edo berdina 0. aurkitu dugu hegazkina inprimaki normal batean ekuazioa da.

ekuazio orokorra

koordenadak ere ekuazioa biderkatu bada ez dela zero edozein kopuruaren arabera, ekuazio baliokide honetarako oso planoan definitzen duen lortuko dugu. inprimaki hau izango du:

Hemen, A, B, C - aldi berean kopuruaren zero desberdinak. Ekuazio hau planoan forma orokorra ekuazioa deritzo.

hegazkinak ekuazioak. kasu bereziak

ekuazioa oro har, baldintza osagarriak alda daiteke. Demagun horietako batzuk.

Demagun koefizientea A dela 0. da Horrek esan planoan aurretik zehaztutako ardatz idi paraleloa dela. Kasu honetan, ekuazioa forma aldatzen: Wu + Cz + D = 0.

Era berean, ekuazio forma eta honako baldintzak aldatu egiten dira:

• Lehenik eta behin, B = 0 bada, ekuazio Ax + Cz + D = 0 aldaketak, eta horrek ardatz Oy izateko paralelismoa adierazi litzateke.
• Bigarrenik, C = 0 bada, ekuazioa da sartu Ax + By + D = 0 eraldatu, hau da aurretik zehaztutako ardatz Oz paralelo buruz esan.
• Hirugarren, D = 0 bada, ekuazioa izango Ax + By + Cz = 0, hegazkina hartzen duen O (jatorria) eta horrek esan nahi du gisa agertzen.
• Laugarren, baldin A = B = 0, ekuazio Cz + D = 0 aldaketak, zein Oxy paralelismoa frogatu du.
• Bosgarren, B = C = 0 bada, ekuazioa bihurtzen Ax + D = 0 da, eta horrek esan nahi du, hegazkina dela Oyz paraleloan.
• Seigarrenik, A = C = 0, ekuazioa inprimakia Wu + D = 0, hartzen bada adibidez, egingo paralelismoa Oxz salatu.

segmentu ekuazioa forma

kasuan non zenbakiak A, B, C, D zero ezberdina, ekuazioaren forma (0) honako hauek izan daitezke:

x / a + b / b + z / c = 1,

dua a = -D / A, b = -D / B, C = -D / C.

Emaitza planoan ekuazio baten zatiak ere jaso ditugu. Kontuan izan behar da hegazkina hori x ardatzean gurutzatzen izango koordenadak (a, 0,0), Oy batera puntuan - (0, b, 0), eta Oz - (0,0, s).

Emandako ekuazioa x / a + b / b + z / c = 1, ez da zaila kokapen planoan erlatiboa ikusteko aurretik zehaztutako koordenatu-sistema bat du.

bektore normal koordenatuak

Normala bektorea planoan P n hegazkina ekuazio orokorra, adibidez n (A, B, C) koefizienteak diren koordenatuak ditu.

ordenaren n normal koordenatuak zehazteko, nahikoa ekuazio orokorrean eman hegazkina jakin behar da.

ekuazioa erabiltzean atalean ditu in the form x / a + b / b + z / c = 1, ekuazio orokor bezala, hegazkin jakin baten bektore normal edozein koordenatuak idatzi ahal izango dugu: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Kontuan izan behar da laguntzen bektore normala dela, hainbat arazo konpondu ahal izateko. arazo ohikoena dira perpendikularra edo paralelo plano froga plano edo plano eta lerro zuzen arteko angelu arteko angelu aurkitzeko zeregina osatua.

Hegazkin ekuazio eta koordenatu puntu bektore normalaren arabera Idatzi

A nulua bektorea n, hegazkina jakin batean zut, deitu normal (normala) aldez aurretik hegazkin bat.

Demagun koordinatzeko espazioan (laukizuzena koordinatzeko sistema) Oxyz ezarri:

• Mₒ koordenadak puntua (hₒ, uₒ, zₒ);
• zero bektorea n = * A + i B * j + C * k.

planoan dagoela Mₒ puntua igarotzen den n normal perpendikularra ekuazioa egin behar duzu.

espazioan edozein arbitrarioak puntua aukeratu dugu eta adierazteko M (x, y, z). Demagun erradioak point M bakoitzean (x, y, z) bektorea izango da r = x * i + y * j + z * k, eta erradioak point Mₒ a bektorea (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i uₒ + * j + zₒ * k. Puntu M izango hegazkina jakin batean sartzen, bektore MₒM izan bektorea n perpendikularra bada. ortogonalizazio baldintza the eskalar produktu erabiliz idazten dugu:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ geroztik, bektore planoan ekuazioa itxura hau izango du:

[R - rₒ, n] = 0.

Ekuazio hau, gainera, forma beste bat izan daiteke. Horretarako, eskalar produktuaren ezaugarriak, eta bihurtu ezker ekuazioa aldean. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. [Rₒ, n] Bada s gisa adierazten da, honako ekuazioa lortzen dugu: [r, n] - a = 0 edo [r, n] = s, eta horrek puntu emandako planoan sartzen erradioak-bektoreak bektore normal buruzko proiekzioak konstantzia adierazten.

Orain koordinatzeko mota grabaketa hegazkina gure bektore ekuazioa lor dezakezu [r - rₒ, n] = 0. geroztik r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, eta n = * A + i B * j + C * k, dugu:

Bihurtzen da ekuazioa sortzen da hegazkina puntuan pasatzen den n normal perpendikularra dugu:

* A (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Hegazkin ekuazio eta bi bektore hegazkina lerrokideak puntu koordenadak arabera Idatzi

arbitrarioak bi puntu M '(x', y ', z') eta M "(x", y ", z"), baita bektorea (a 'bat ", ‴ a) definitu dugu.

Orain ekuazio aldez aurretik hegazkina bertan lehendik zegoen puntua M 'eta M "igarotzen da, eta koordenadak M (x, y, z) paralelo bektore jakin bati ekin puntu bakoitza idatzi ahal izango dugu.

Horrela M'M bektore x = {x ', y-y'; zz '} eta M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} bektore batera coplanar izan beharko a = (a 'bat ", ‴ a), eta horrek esan nahi du (M'M M" M, a) = 0.

Beraz, gure espazioan hegazkin baten ekuazioa itxura hau izango du:

Hegazkin ekuazio mota, hiru puntu zeharkatu

Demagun hiru puntu behar dugu: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), horrek ez lerro berean sartzen. Beharrezkoa da planoan zehaztutako hiru puntu pasatzen ekuazioa idazteko. geometria teoria argudiatzen hegazkina mota hori existitzen ez bada, besterik ez da bat eta bakarra. Hegazkin honen puntua gurutzatzen zenetik (x ', y', z '), bere ekuazioa inprimaki izango litzateke:

Hemen, A, B, eta C zero desberdinak aldi berean daude. Era berean, emandako planoan bi puntu gehiago ebakitzen (x ", y", z ") eta (x ‴, y ‴, z ‴). Zentzu horretan egin behar da, baldintza mota hau:

Orain sistema uniforme bat sortu ahal izango dugu ekuazioak (lineala) ren Ezezagunak u, v, w batekin:

Gure kasuan x, y edo z point arbitrarioak bertan ekuazioa (1) asetzen dago. ekuazioa (1) eta ekuazioak (2) eta (3) Goiko irudian adierazitako ekuazio sistemaren sistema bat kontuan hartuta, bektore asetzen N (A, B, C), zein da nontrivial. sistemaren determinantea zero delako da.

Ekuazioa (1) dugu dugu lortu, hau planoan ekuazioa da. 3 puntu benetan doa zuen, eta erraz egiaztatu da. Horretarako, erabakigarria zabaldu genuen lehenengo errenkadan elementu moduan. Dagoen propietate erabakigarria Of honela gure hegazkina aldi berean hiru jatorriz aurretik zehaztutako puntu ebakitzen (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Beraz, gurekin aurrean zeregin erabaki genuen.

plano arteko dihedral angelu

Dihedral angelu forma geometriko espaziala bi erdi-plano lerro zuzenean darizkio osatutako dago. Bestela esanda, hau da, erdi-plano mugatua espazio zati.

Demagun honako ekuazioak bi hegazkin dugu:

Badakigu bektorea N = (A, B, C) eta N¹ = (A¹, H¹, S¹) aldez aurretik plano arabera perpendikularra direla. Zentzu honetan, bektore N eta N¹ berdinak angelu (dihedral), hau da plano horien arteko kokatzen arteko φ angelua. eskalar Produktua da ematen dituen:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

hain zuzen ere

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

nahikoa 0≤φ≤π hori kontuan hartu behar da.

Egia esan, bi plano gurutzatzen diren, inprimaki bi angelu (dihedral): φ ₁ eta φ _2. Haien batura berdina x to (φ ₁ + φ ₂ = π) da. Beren cosines dagokienez, euren balore absolutua berdinak dira, baina seinaleak ezberdinak dira, hau da, cos φ ₁ = -cos φ _2. Bada ekuazioa (0) ordez A, B eta C -A, -B eta -C hurrenez hurren, ekuazioaren bidez, lortuko dugu, plano berean zehaztuko du, angelu bakarrik ekuazio cos φ ere φ = NN ¹ / | N || N ¹ | It ordezkatuko dira π-φ arabera.

perpendikularretara hegazkina ekuazioa

Hegazkin perpendikularra deitzen da, eta horrek arteko angelua 90 gradu. Goian aurkeztutako material erabiliz, plano batean ekuazioa aurki ditzakegu beste perpendikularra. Demagun bi plano ditugu: Ax + By + Cz + D = 0, eta + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. ortogonalak direla esan dezakegu bada cos = 0. Horrek esan nahi du NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Plano paralelo baten ekuazioa

aipatzen bertan komunean puntu no eduki bi plano paralelo da.

Baldintza da plano paralelo (beren ekuazioak aurreko paragrafoan berberak dira) da bektoreak N eta N¹ dira, horietako perpendikularra dela, lerrokideak. Horrek esan nahi du baldintza hauek betetzen direla proportzionaltasuna:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

proportzionala terminoak zabaldu dira bada - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

hau datu berdinak planoan dagoela adierazten du. Horrek esan ekuazio Ax + By + Cz + D = 0 eta + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 deskribatzeko hegazkina bat.

Hegazkin puntu batetik distantzia

Demagun hegazkin P bat, hau da (0) emandako ditugu. Beharrezkoa da, puntu batetik distantzia aurkitu koordenadak (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Ekuazioa ekartzea hegazkina II itxura normala izan dadin behar duzu:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Kasu honetan, ρ (x, y, z) erradioa gure puntu Q, n p kokatutako bektorea da - n perpendikularra izan zen, zero puntuan askatzen luzera da, v - unitate bektorea da, eta norabidea bat antolatu da.

Ezberdintasun ρ-ρº erradioak point Q a = (x, y, z) bektorea, to n jabetzako eta erradioak puntu jakin baten bektorea Q ₀ = esaterako bektore bat, proiekzioa balio absolutua horietatik on (hₒ, uₒ, zₒ) da v distantzia d, eta hori beharrezkoa da Q-tik aurkitu berdinen = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, baina

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Beraz bihurtzen da,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Orain argi dago distantzia d kalkulatzeko ₀ eta Q hegazkina P egiteko, ezinbestekoa da normal ikuspegi hegazkina ekuazioa erabili, p ezkerrean aldaketa, eta x, y azken lekua, z ordezkoa (hₒ, uₒ, zₒ).

Horrela, sortutako adierazpen hori eskatzen d balio absolutua aurkituko dugu.

Hizkuntza parametroak erabiliz, agerikoa lortuko dugu:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

zehaztutako puntu Q ₀ beste hegazkin P jatorria gisa aldean bada, orduan bektore arteko ρ-ρ ⁰ eta v da kamutsa angelu bat, horrela:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

kasuan puntu Q ₀ U Alde berean kokatzen jatorria batera, akutua angelu sortuta dagoenean, hau da:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Emaitza da lehen kasuan (ρ ^0, v)> p, bigarrenean (ρ ^0, v)

Eta bere tangente hegazkina ekuazio

azalera hegazkina dagokionez tangency Mº puntuan - posible azalean puntu horretan zehar marraztutako kurba to tangente guztiak dituen hegazkin batean.

azalera ekuazio F (x, y, z) = 0 tangente hegazkina tangentea puntu Mº ekuazioa ere (hº, uº, zº) izango litzateke forma honekin:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

azalera ezartzen bada esplizituki z = f (x, y), orduan tangente planoan dago ekuazioa k azaldu:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Bi plano elkargunean

In hiru dimentsioko espazioan koordinatzeko sistema (laukizuzena) Oxyz, emandako bi plano P 'eta P' gainjarri direla eta ez datoz bat da. Edozein hegazkin, zein laukizuzena koordinatzeko sistemako ekuazio orokorrean definitutako denez, hori n + B x '+ y' "= 0 eta A eta n ekuazioak A'x + V'u S'z + + D definitzen dira '" suposatuko dugu "z + D" With = 0. Kasu honetan normal n '(A', B ', C') plano P 'eta normala n "(A", B ", C") hegazkina P du' of behar dugu. Gisa gure hegazkina ez dira paraleloak, eta ez datoz, gero bektore horiek ez dira lerrokideak. n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Eta", λ * In ", λ * C"), λεR: matematikaren hizkuntza erabiliz, baldintza hau honela adieraz dezakegu behar dugu. Utzi zuzen horrek elkargunean P dago 'eta P ", letra bat bidez adierazten dira, kasu honetan a = P in' ∩ P".

eta - lerro bat puntu (ohikoa) plano P 'eta P "pluraltasuna osatua. Horrek esan nahi du, lerro bat pertenecientes edozein puntutan koordenatuak direla, aldi berean bete behar ekuazio A'x + V'u S'z + + D '= 0 eta A "x + B' + C y" z + D "= 0. Horrek esan puntuaren koordenatuak ondoko ekuazioak soluzio partikular bat izango da:

Emaitza da konponbidea (orokorra) ekuazioen sistema honen puntu bakoitzaren koordenatuak zehaztuko du lerroan izango elkargunean P 'eta P "puntuan gisa jarduteko, eta koordinatzeko sistema bat Oxyz (laukizuzena) espazioan lerro bat zehazteko.