Zer da aritmetika? Oinarrizko aritmetika teorema. binary aritmetika

Zer da aritmetika? gizateriaren hasi zenean zenbakiak eta haiekin lan? Non daude bere zenbakiak, bezalako kontzeptuak eguneroko sustraiak zatikiak, kenketa, batuketak eta biderketak, pertsona horrek bere bizitza eta aurreikuspenak zati bat egin du? Greziako adimenak miresten zientziak esaterako matematika, aritmetika eta geometria bezala, giza logika sinfonia eder bat.

Agian matematika ez da beste zientzia gisa sakona da, baina zer gertatuko litzateke, jendeak ahaztu oinarrizko biderketa taulak? gurekin ezagunak pentsamendu logikoa, zenbakiak, zatikiak eta bestelako tresnak erabilita jendea emateko gogor bat, eta denbora luzez ez zen gure arbasoen eskuragarri. Izan ere, aritmetika garatzen aurretik ez giza ezagutzaren inguruan ez zen benetan zientifikoak.

Aritmetika - Matematika alfabetoaren da

Aritmetika - zenbakien zientzia, dituen banakako edozein matematika mundu liluragarrian ezagun hasten da. M. V. Lomonosov hitzetan, aritmetika - honek ikaskuntza atea da, bidea irekiz guretzat Miropoznanie da. Baina eskubidea zuen, da munduaren ezagutza izango hizkiak eta zenbakiak, matematika eta hizketa ezagutza bereizi daiteke? Agian Garai batean, baina ez mundu modernoak, non zientzia eta teknologia garapen azkarra bere legeak egiten ditu.

"Aritmetika" (GK. "Arifmos") greziar jatorria, hitza "zenbakia" esan nahi du. kopurua eta hori haiekin lotutako ezin guztiak aztertzen ditu. Hau zenbakiak mundua da: zenbakiak, zenbaki-arauak hainbat ekintza, hori biderketak, kenketa lotutako, eta abar zereginak ..

Oro har onartu da, hasierako urrats hori aritmetika Matematika eta bere atal konplexuagoak, hala nola, algebra, analisi matematiko gisa oinarri sendoa, matematika goi-mailako eta t da. D.

aritmetika helburu nagusia

aritmetika oinarria - an osokoa, propietate eta lege horrek aritmetika altuena edo jotzen dira zenbaki-teoria. matematika - Izan, nola eskuineko ikuspegia unitate txiki bat, hala nola, kontuan hartu da, zenbaki natural bat eraikinaren indarra menpe gisa.

Beraz, galdera hori da aritmetika, erantzuna oso erraza da: zenbakiak zientzia da. Bai, ohiko zazpi, bederatzi, eta komunitate anitza hori guztia buruz. Eta besterik ez baita, eta gehien kaskar bertso ezin oinarrizko alfabetoa gabe idatzi, aritmetika ezin gabe da konpondu, are oinarrizko lanak. Horregatik zientzietako guztia aritmetika eta matematikako garapenean ondoren bakarrik aurreratu egin dira, nagusiki hipotesi multzo bat izatea.

Aritmetika - zientzia-mamua

Zer da aritmetika - zientzia natural edo phantom bat? Izan ere, antzinako greziar filosofo arrazoitua bezala, zenbaki gabe, errealitatean figura ez da existitzen. phantom bat besterik ez da, hau da, giza pentsamenduaren sortu zenean ingurumena eta bere prozesu begiratzen da. Izan ere, zer kopurua da? Nowhere inguruan ez dugu ikusten horrelako ezer deitu ahal izango da kopurua, baizik, zenbakia - giza gogoaren mundua esploratzeko modu bat da. Agian ikerketa honen burua barrutik dugu? Filosofo honi buruz argudiatzeko segidan mende askotan, eta, beraz, erantzun zehatza ez dugu ekiteko emateko. Dena den, aritmetika zitekeen hain irmoki euren mundu modernoaren inork ez har daiteke sozialki bere fundazioak ezagutza gabe egokitu posizioa hartu.

ez zegoen zenbaki oso bat bezala

Jakina, objektu nagusia funtzionatzen aritmetika, - 2, 3, 4 zenbakia natural 1 esaterako,,, ..., 152 ... etc. zenbaki naturalen Arithmetic objektu arruntak, hala nola, belardi batean behiak bezala kaltetan emaitza da. Hala ere, "asko" edo "pixka bat" zerbait utzi du jendeak eduki, eta sofistikatuagoa zenbaketa teknika asmatu behar izan definizioa.

Baina benetako aurrerapauso etorri denean, giza adimenaren puntua duten 2 zati bat eta "bi" izendatzeko eta 2 kg kopuru bera, eta 2 brick eta izan daiteke erdietsi. Izan ere, forma, ezaugarri eta objektuak esanahia batetik abstraktua den beharrezkoa dela, orduan osokoak positiboa formularioa objektuak hauekin ekintza batzuk ekoizteko ahal izango dugu. Horrela jaio zen zenbakien aritmetika, hau da, are gehiago garatu eta gizartean posizio bat okupatuz ere zabaldu.

Horrelako sakona kopurua kontzeptua, zero eta zenbaki negatiboak, frakzio gisa, zenbakiak, zenbakiak aipatzeko beste bide batzuetatik, garapen historia aberatsa eta interesgarria izan.

Aritmetika eta praktikoa egiptoarrek

Bi antzinako giza munduaren azterketa eta eguneroko arazoak konpontzeko laguna - aritmetika hau eta geometria.

Uste da aritmetika historian bere Antzinako Ekialde jatorria: India, Egipto, Babilonia eta Txina. Beraz, Rhind papiroan Egiptoko jatorria (beraz izeneko izen bereko jabeari dagozkion delako), XX mendearen atzera datazio. BC, beste datu baliotsu gain frakzio bat hedapen izendatzaile eta zenbakitzailea bat berdina ezberdinekin zatikiak zenbatekoa barne.

Adibidez: = 1/60 2/73 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Baina zer esaterako deskonposizio konplexu baten esanahia da? Izan ere, Egiptoko hurbilketa ez du onartzen abstracted zenbakiak pentsatzen, aitzitik, kalkuluak helburu praktikoa bakarrik egin ziren. Hau da, egiptoarrek enpresa, hala nola egingo arduratzen kalkuluak bezala, soilik ordena hilobia eraikitzeko, adibidez. Beharrezkoa zen the fin egitura luzera kalkulatzeko, eta pertsona bat papyrus eseri egin zen. Ikus daitekeen bezala, kalkuluetan Egiptoko aurrerapena deitzen zen, baizik masiboak, eraikitzeko beharrean, zientzia zaletasuna baino.

Hori dela eta, papyri aurkitu kalkuluak, ezin da deitu zatikiak gaiari buruzko gogoetak. Seguruenik, prestaketa praktiko bat, eta horrek lagundu gehiago zatikien arazoak konpontzen da. Antzinako egiptoarrek ez nekien biderketa taula, ekoiztu nahiko luzea kalkulu bat, zabaltzen azpizereginak asko sartu. Agian hau azpizereginak horietako bat da. Erraza da hutsuneak hauekin kalkuluak oso denbora asko eta ez oso oparoa da nabarituko. Horregatik, beharbada, ez dugu Egiptoko antzinako matematikaren garapena ekarpen handi bat ikusi.

Antzinako Grezia eta aritmetika filosofikoak

Antzinako Ekialde ezagutza asko dira ongi antzinako greziarren, gogoeta abstraktu, abstraktu eta filosofikoak zale ezaguna masterizatu. Landu interesatzen ez gutxiago ere, horiek baina, teorialarien eta pentsalari onenen gogorra aurkitu. zientzia ona izan da matematika, ez da posible delako sakona joan, ez da urraketaren errealitatearekin. Noski, posible da 10 behi eta 100 litro esne biderkatu dira, baina ez urrun mugitu ahal izatea.

Greziarrek pentsamendu sakon ezker historian marka garrantzitsu bat, eta haien lanak gurekin etorri:

• Euklides eta "elementu".
• Pitagorasek.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Eta, jakina, greziarren filosofia guztia bihurtzen da, eta batez ere, Pitagorasen kasu jarraitzaileak beraz zenbakiak, bertan jotzen beraientzat misterio mundu harmonia sutsua izan ziren. zenbakiak dira orain aztertu eta ikertu, horien eta beren bikoteek batzuk egotzitako propietate bereziak. Adibidez:

• Perfect zenbakiak - horiek bere zatitzaile guztien batura dira kopuru bera (6 = 1 + 2 + 3) ezik.
• Lagunarteko zenbakiak - zenbaki horiek, eta horietako bat, bigarren eta alderantziz of zatitzaile guztien batura da (Pythagorean dakit hala nola pare bat bakarrik: 220 eta 284).

Greziarrek, sinesten zientzia maite behar da, ez berarekin egon irabazia mesedetan, aurrerapauso handia egin dute, esploratzen jolasten eta zenbakiak gehituz. Kontuan izan behar da hori ez beren ikerketa guztiek dute asko erabiltzen dira, horietako batzuk besterik ez ziren "edertasuna."

Ekialdeko Erdi Aroko pentsalari

Era berean, Erdi Aroan, Arithmetic bere garapena zor ekialdeko garaikide da. Indiarrak eman zigun zifra aktiboki erabiltzen dugun gauza bat, hala nola, "zero" gisa, eta posizio aldakuntza kalkuluaren sistema, ohiko moderno pertzepzioa. Al-porridge, bertan 15ean mendean Samarkand ere aritu aurrera, heredatu ditugun hamartarrak, eta hori gabe zaila da aritmetika moderno imajinatzea.

Modu askotan, Europan ezagutzen dituzten Ekialde lorpenak esker egin zen Italiako zientzialari Leonardo Fibonacci, liburu bat "Liber abaci" idatzi, berrikuntzak ekialdeko acquainting lana da. algebra eta aritmetika, ikerketa eta jarduera zientifiko Europan garatzen giltzarria bihurtu da.

Errusiako aritmetika

Azkenik, aritmetika, bere lekua aurkitu du eta Europan errotuta, hasi zen Errusiako lurretan zabaldu. Errusiako lehen aritmetika 1703an argitaratutako - aritmetika Leontiya Magnitskogo buruzko liburu bat izan zen. Denbora luzez matematika tutoretza bakarra izan zen. Hasierako algebra eta geometria uneak ditu. Zifrak, zein Errusiako aritmetika lehen testuliburua, arabiera adibide erabili ziren. Arabiarrak baino lehen bildu izan arren, grabatuak atzera datazio 17. mendean ere.

Liburua bera Archimedes eta Pitagorasen irudiekin apainduta dago, eta lehen orrialdean - irudi aritmetika emakume gisa. eseri zen tronuan, azpian dagoen Hebrew hitzaren Jainkoaren izena for idatzita, eta urratsak aldarera eramango duten, hitza "zatiketa", "gorakada", "Horrez" inskribaturik, eta abar orrian. D. One soilik balio traizio pentsa daiteke egiak, hala nola, gaur egun jotzen dira ohikoak.

600 orr eskuliburu bezala batuketak eta biderketak mahaiak, eta nabigazio-zientzien aplikazio oinarri gisa deskribatzen du.

Ez da harritzekoa, egileak bere liburu greziarra pentsalari irudia aukeratu du, berak zen aritmetika edertasuna liluratuta delako, esanez: «Aritmetika ditu chislitelnitsa han arte azoka, nezavistnoe ...". aritmetika hurbilketa hau oinarririk, ezta bere hedatuago adopzioa har daiteke pentsamendu zientifikoak azkar garapena Errusian eta hezkuntza orokorrean hasieran delako.

deseroso Lehenak

- Prime zenbakia da zenbakia natural bat, 1 eta bera: bertan bakarrik 2 zatitzaileen positiboa da. beste zenbaki guztiak, 1 salbu dago konposatuen izeneko. zenbaki adibideak: 2, 3, 5, 7, 11, eta hori ez dira 1 baino beste zatitzaileen eta zenbakia bera beste guztiak.

As 1 zenbakia, da prima bat da - ez akordio hori kontuan hartu behar da ez sinple ezta konposatu da. Lehen begiratuan Simple, zenbaki soil bat ezkutatzen irudi mailan misterioak asko beraiek barruan.

Euklidesen teorema dio Lehenak kopurua infinitua, eta Eratosthenes hori sortu izan zen berezi bat aritmetika "bahe", eta horrek zenbakiak korapilatsu kanporatzea, bakarrik simple utziz.

Bere funtsa da lehen undelete kopurua azpimarratzeko, eta ondorengo deigarria out dutenak dela multiploak dira. Prozedura hau errepikatu dugu hainbat aldiz - eta zenbaki lehenen taula bat lortzeko.

Oinarrizko aritmetika teorema

zenbaki buruz behaketa artean behar den bereziki aipatu oinarrizko aritmetika teorema.

Oinarrizko teorema aritmetika dioenez edozein zenbaki oso 1 baino handiagoa dela, edo soil bat edo zenbaki errepikapena faktoreak, modu bakarra ordena gehienez produktu bat sartu beharko da deskonposatu daiteke.

Oinarrizko aritmetika teorema nahiko astuna frogatu, eta ez da nahi besterik oinarriak ulertzeko.

Lehen begiratuan, zenbaki lehen At - oinarrizko kontzeptua da, baina ez da. Fisika halaber behin jotzen oinarrizko atomo, aurki arte unibertso baten barruan zuen. Lehenak eder bat istorio matematikari Don Zagier eskainitako "Lehenengo berrogeita hamar milioi zenbaki".

"hiru sagar" legeak dedukziozko arte

Hori benetan deitu daiteke zientzia guztien oinarria indartu bat - aritmetika legeak. Nahiz eta haur bat aurpegia aritmetika guztiak, hankak eta besoak kopuruaren panpinak hartan, kubo, sagar-kopurua eta abar ikasten. D. Beraz aritmetika, eta gero arau konplexuagoak sartu aurrera ikasten dugu.

Gure bizitza osoan aurkezten digu aritmetika-arauak, zein gizon komun gehien zientzia guztien baliagarria ematen ziren arte. zenbakien azterketa - "Aritmetika-haurra", eta horrek gizon aurkezten zenbakien munduari haurtzaroan digituak bezala da.

Goi Arithmetic - dedukziozko zientzia aritmetika legeak aztertzen dituen. Gehienak badakigu, nahiz eta, agian, ez dakigu haien idazketa zehatza.

Horrez eta biderketa-legea

Edozein bi zenbaki osoko bat eta b egon a + b, zein zenbaki natural bat da, halaber batura gisa adieraz daiteke. Horrez dagokionez, honako lege hauek:

• Konmutazio, dio baldintzapean permutazio dela jartzen zenbatekoa ez da aldatuko, edo a + b = b + a.
• Elkartze hori esan batura ez du baldintzapean elkartuz lekuetan metodoa, edo + (b + c) = araberakoak (a + b) + c.

aritmetika arauak, hala nola Horrez bezala, - oinarrizko bat, baina ez eguneroko bizitzan aipatzearren zientzietako guztiak, erabiltzen dira.

Edozein bi zenbaki osoko bat eta b beharreko produktua edo b a * b, eta horrek kopurua natural bat ere adieraz daitezke. Produktu aplikatzeko trukakorra eta elkarte lege beren gain moduan:

• a * b = b * bat;
• * A (b * c) = (* b a) * c.

Interesgarria da ez dagoela lege bat, eta horrek, gainera, eta biderketak, banaketa edo distributiboak lege bezala ere ezaguna uztartzen dira:

a (b + c) = ab + ac

Lege honek erakusten digu parentesi lan egiteko, irekitzeko eta, ondorioz, dagoeneko formula konplexuagoak lan. Hauek legeak eramango gaitu algebra munduan quaint baina konplexu barrena daude.

Lege ordena aritmetika

giza logikaren legeen inguruko egun bakoitzean erabiltzen du, bere erlojuan egiaztapena eta fakturak kontatuta. Eta, hala ere, eta izan behar da hizkuntza jakin batean egindako.

bi osokoak positiboa eta b, orduan aukera hauek badugu:

• a berdina da b edo a = b;
• b bat baino gutxiago, edo
• a b, edo> b baino handiagoa da.

Hiru aukeretako bat besterik bakarra izan daiteke. Oinarrizko Legea, zein prozedura arautzen, esan zuen:

Ez dago batuketak eta biderketak ordena ekintzak lotu duten legeak ere badira: a

aritmetika legeak irakatsi zigun zenbakiak, zeinuak eta parentesi lan egiteko, dena inflexio zenbakiak sinfonia harmonikoa batean.

Kokapen eta nonpositional zenbakikuntza sistema

Erran dezakegu zenbakiak - honek matematikaren hizkuntzan, erosotasuna eta horietatik gauza askoren araberakoa da. kalkuluaren sistema askotan, eta horrek, bezalako hizkuntza desberdinetako alfabetoen datoz daude.

Demagun eraginaren posizioak puntu kopuru sisteman jarrera hori digituaren balioa kuantitatiboa gainean. Adibidez, erromatar sistemaren nonpositional da, non zenbaki bakoitza karaktere bereziak multzo batek kodetzen: I / V / X / L / C / D / M. dira, hurrenez hurren, zenbakiak 1/5/10/50/100/500 / 1000. Sistema honetan, irudian ez du bere determinazio kuantitatiboa aldatu, arabera zer jarrera izan behar lukeen at: .. Lehenengo, bigarren eta abar beste zenbakiak lortzeko, beharrezkoa arautuko oinarria da. Adibidez:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Gehiago ezagunak gurekin zenbaki-sistema arabiarrak erabiliz kokapen da. 333, 567, eta abar: sistema bat, hala ere, isurketa-kopurua digitu kopurua, adibidez, hiru digituko zenbakiak definitzen alta, edozein pisua posizio bat zein zifra bat edo beste dago, adibidez, 8 figura bigarren postuan araberakoa 80. balioa du sistema tipikoa da dauzka, badira beste kokapen-sistema esaterako bitar gisa.

binary aritmetika

hamartar ezagunak sistemaren gara, bakar-bit eta multi-bit zenbakiak osatua. digitua kopuruaren Ezkerreko irudian hamar aldiz handiagoa garrantzia ere eskuman da. Beraz, 2, 17, 467, eta abar irakurtzeko. Ezberdinei logika eta planteamendu atal bat, deitzen den da D. erabiltzen dugu "binary aritmetika". Hau ez da harritzekoa, izan ere, binary aritmetika ez da giza logika sortu, eta ordenagailua da. zenbakien aritmetika zenbaketa, eta horrek are gehiago, subjektu jabetza "biluzik" aritmetika den abstraitua jatorria bada, orduan hau ez da zure ordenagailuan lan egiteko. beren ezagutza ordenagailua partekatu ahal izateko, gizon bat modelo kalkulua bat asmatu behar izan zuen.

Binary aritmetika alfabetoa binary, eta horrek osatzen bakarra 0 eta 1. Eta alfabetoa honen erabilera sistema bitarra deritzo lan.

aritmetika hamartar binary ezker posizioa garrantzia ez diren 10 eta 2 aldiz ez bezala. Binary zenbakiak inprimakia 111, 1001 eta abar. D. Nola zenbaki horiek ulertu behar dugu dira? Horrela, zenbakia 1100 kontuan hartu ditugu:

1. 1 * 8 = 8, kontuan hartuta, laugarren digituko da, eta horrek esan nahi du ezin dela 2 biderkatuko behar duela 8 posizioa lortu dugu - Ezkerreko Lehenengo.
2. Bigarren digituko 1 * 4 = 4 (posizio 4).
3. Hirugarren digituko 0 * 2 = 0 (posizio 2).
4. Laugarren digitua 0 * 1 = 0 (posizio 1).
5. Beraz, gure zenbakia 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Hau da, kategoria berri bat trantsizio bere esangura ezkerrean bitar sistema da 2 eta du biderkatuko - 10. sistema bat, besteak beste eragozpen bat du: zenbakiak grabatzeko beharrezkoak dira handiegia hazkunde bit da. Adibideak hamartar zenbakiak taula honetan ikus daitekeenez dvochinyh.

zenbakiak Decimal modu bitarrean azpitik ordezkatuta.

It ere erabiltzen da zortzitarra, eta hamaseitar zenbakitze sistema.

misteriotsu aritmetika This

Zer da aritmetika, "bi gehi bi" edo zenbakiak misterioak esploratu gabeko? Ikusten duzun bezala, aritmetika, can, eta badirudi lehen begiratuan erraz batean da, baina ez da begi-bistakoa engainagarria erraztasuna. Posible da haurrak aztertzeko, eta marrazki bizidunak "Aritmetika-haurra" from izeba Hontza batera, eta sakon ikerketa zientifiko ordena ia filosofiko sartu ahal izango duzu murgiltze. Historian zenbakiak edertasuna gurtzeko objektuak kontatuta igaro da. Gauza bat ziur dago: aritmetika oinarrizko postulatuak ezartzea batera, zientzia guztiak bere sorbalda sendoak konfiantza dezakezu.