Pendulum: epea eta formula bizkortzea

Sistema mekaniko material puntu bat (gorputza), bertan pisurik inextensible filamentu baten gainean zintzilikatzen (bere masa arbuiagarria aldean gorputzaren pisua) uniforme grabitazio-eremu bat ere osatzen dute, (- osziladore beste izena) izeneko pendulu matematikoaren. Beste gailu mota daude. harizpia pisurik kanabera baten ordez erabil daiteke. Pendulum eta garbi agerian fenomeno interesgarria askoren esentzia. Noiz anplitudea bere mugimenduaren bibrazio txiki da harmonikoa izeneko.

mekaniko sistema buruzko informazio orokorra

oszilazio pendulua epea formula hazten zen Herbehereetako zientzialari Huygens (1629-1695 gg.). Isaac Newton garaikide hau oso sistema mekaniko gustuko izan. 1656 urtean pendulua mekanismo batekin lehen ordularia sortu zuen. Garai neurtu dute doitasun muturreko garai hartan batera. asmakuntza honek esperimentu fisiko eta jarduera praktikoen garapenean urrats garrantzitsu bat izan zen.

pendulua oreka posizio bat (bertikalean zintzilik) ere bada, grabitatearen du yarn tentsioa indarrez orekatu egingo da. a ez-stretchable yarns on pisu pendulua bi komunikazio graduko askatasuna duen sistema bat da. Noiz bere zati guztien ezaugarriak aldatzen osagai bat besterik ez aldatuz. Adibidez, hari bat ordeztuz gero kanabera batek, orduan sistema mekaniko honek askatasun maila 1 bakarra. Zein da, beraz, pendulu matematiko baten ezaugarriak? sistema sinple honetan, aldizkako perturbazio baten eraginpean, kaosa agertzen da. Kasu horretan, noiz etetea puntua ez da mugitzen, eta pendulu bat kulunkatzen daude oreka posizio berri bat da. azkarrak gorabeheren up eta sistema mekaniko hau behera posizio egonkor bihurtzen bada "hankaz gora". halaber, bere izena du. It Kapitza pendulua deritzo.

pendulua propietate

Pendulum propietate oso interesgarria dauka. Horiek guztiak dira ezagunak lege fisiko onartzen. pendulua beste edozein oszilazio epea hainbat egoera araberakoa hala nola tamaina eta forma gorputzaren bezala, esekidura puntua eta grabitatearen erdian, pisua banaketa-puntu horri dagokionez arteko distantzia. Hori dela eta, gorputza zintzilik aldian definizioa da nahiko erronka. askoz errazagoa pendulu sinple bat, formula horren azpian ematen da epea kalkulatzeko da. eredu horiek errespetatuz ondorioz daiteke sistema mekaniko antzekoak ezarri daitezke:

• Baldin berriz penduluaren luzera bera, karga-barietate batetik esekita mantenduz, oszilazio epea bera lortu, nahiz eta bere pisua asko alda egingo. Ondorioz, pendulua epea ez du karga pisua araberakoa izango da.

• sistemari pendulua gainbehera hasten bada, ez da handiegia, baina ikuspegi desberdinetatik, egingo aldi bereko beste aldaketarik da, baina amplitudes desberdinetan. Oreka erdian desbideratzen ez den bitartean beren forma gorabeherak handiegia aski hurbil harmonikoa izango da. pendulu bat, besteak beste, epe ez du bibrazio anplitudea araberakoa izango da. sistema mekanikoen Jabetza hori isochronism (- time "Izosov" - berdinak greziar "Chronos" in) deritzo.

Pendulu sinplea epea

Kopuru hori oszilazio epea natural adierazten du. formulazio konplexuak izan arren, prozesua bera oso erraza da. the yarn matematiko pendulua L, eta grabitazio azelerazioa g luzera, balio hau berdina bada:

T = 2π√L / g

gorabeherak natural epea Small inola ere ez du pendulua masa eta oszilazio anplitudea araberakoa izango da. Kasu honetan, pendulua matematiko bat luzera urriko mugitzen gisa.

Pendulu matematiko baten gorabeherak

Matematika pendulua kulunkatzen, eta horrek ekuazio diferentziala soilez azaldu daiteke:

x + ω2 sin x = 0,

non x (t) - funtzioa ezezaguna (behe denbora t at oreka-egoera batetik deflection angelu hau, radianetan adierazten da); ω - konstante positiboa den pendulua (ω = √g / L, parametroak zehaztu non g - grabitatearen azelerazioa, eta L - pendulu sinple bat (etetea) luzera.

Ekuazioa oszilazio txikiak oreka posizioa (harmoniko ekuazioa) honela gertu:

x + ω2 sin x = 0

Oscillatory penduluaren mugimendua

Pendulum, eta horrek gorabeherak txikiak egiten, sinusoid mugitzen. Bigarren ordenako ekuazio diferentzial eskakizunak eta mugimendu horren parametro guztiak betetzen ditu. bidea abiadura eta koordenadak, geroago konstanteak independenteak zehaztu du ezarri behar dituzu zehazteko:

x = sin A (θ ₀ + ωt),

non θ ₀ - hasierako fasean, A - oszilazio anplitudea, ω - ziklikoa maiztasuna mugimenduaren ekuazioak zehaztu.

Pendulum (amplitudes handietarako formula)

sistema mekaniko hau, euren gorabeherak egiteko anplitudea handi batekin, trafiko konplexuagoak legeak menpe dago. dute, besteak beste, pendulu baten formularen arabera kalkulatuko dira:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

non sn - sine Jacobi, nor for u <1 aldizkako funtzio bat da, eta u txikietarako dator sinplea trigonometrikoentzat sine batekin. u balioa honako adierazpena zehazten:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

non ε = E / mL2 (mL2 - pendulua energia).

lineala oszilazio honako formula pendulua epea zehaztea:

T = 2π / Ω,

non Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - eliptiko integral, π - 3,14.

pendulua separatrix mugimendua

separatrix sistema dinamikoa da, eta bertan fase espazioaren bi dimentsioko baten ibilbidea deitzen baitiote. Pendulum a ez-aldiro mugitzen. infinituki urrun denbora puntu batean jaisten zero abiadura aldera goiko muturreko posizio batetik, eta, ondoren, pixkanaka irabazten. Azkenean gelditu zen, bere jatorrizko posizioan itzultzeko.

pendulua oszilazio anplitudea zenbakia pi hurbiltzen bada, esaten da fase planoan motion dela separatrix hurbil dago. Kasu honetan, aldizkako gidatze sistema mekanikoen indar txiki bat ekintza pean kaotikoa portaera erakusgai.

angelu cp batekin oreka posiziotik pendulu sinple bat gertatuz gero tangentzialak indarrean Fτ = -mg sin φ grabitatearen gertatzen da. "Minus" ikurra esan tangentzialak osagaia pendulua desbiderapen norabidea kontrako norabidean zuzendu. penduluaren desplazamendu bidez aipatuz erradioak L batekin arku zirkular bat batera x bere angular desplazamendu φ = x / L. berdina da Bigarren legeak Isaaka Nyutona, azelerazioa bektorea eta indarra nahi den balioa eman proiekzioa diseinatu:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Oinarritutako ratio honetan, argi dago pendulua dela lineala sistema bat da, indar bat bere oreka posizioan itzultzeko joera hori bezala, ez da beti desplazamendu x, sin x / L. a proportzionala

pendulu matematikoaren bibrazio txiki burutzen denean soilik, osziladore harmonikoa da. Bestela esanda, sistema mekaniko bat harmonikoa gorabeherak egiteko gai bihurtzen da. hurbilketa hau baliozkoa da ia angelu 15-20 º. amplitudes handiekin Pendulum ez da harmonikoa.

Newtonen pendulua baten gorabeherak txikiak legeak

sistema mekaniko gorabeherak txikiak burutzen badu, 2. Newton-en legeak itxura hau izango du:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Oinarri honetan, ondoriozta dezakegu tangentzialak pendulu sinple bat bizkortzea bere ikurra "minus" rekin desplazamendu proportzionala. Hau baldintza bat sistemak egingo du osziladore harmonikoa bihurtzen da. Modulua proportzionaltasun desplazamendu eta azelerazioa arteko faktore abiadura angeluarra plazan berdin:

ω02 = g / L, ω0 = √ g / L.

Formula hau pendulua mota honen gorabeherak txikiak maiztasun naturala islatzen du. Oinarri honetan,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Kalkuluak oinarritutako energiaren kontserbazioaren legea on

Propietateak penduluaren mugimenduek oszilatzen egon energiaren kontserbazioaren legea laguntzarekin azaldu daiteke. Kontuan izan behar da, energia potentziala pendulua grabitazio eremu batean dago:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full energia mekanikoa potentziala zinetiko eta gehienez berdinen: Epmax = Ekmsx = E

Ondoren idatzi duzula energiaren kontserbazioaren legea, ezker eta eskuin ekuazioa alboetan eratorria hartu:

Ibiltaria + Ek = konst

konstanteak eratorria 0 berdina denez, orduan (Ibiltaria + Ek) '= 0. batura eratorria The deribatuak batuketaren berdina:

Ibiltaria '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

hortaz:

Mg / L * XV + MVA = v 0 (mg / L * x + m α) =.

Oinarritutako azken formula on, aurkituko dugu: α = - g / L * x.

pendulu matematikoaren aplikazio praktikoa

Azelerazioa erorketa librea latitude batera aldatzen da, baita planeta osoko lurrazalean dentsitatea ez dira berdinak. Non arroka dentsitate handiagoa duten gertatzeko, zertxobait handiagoa izango da. Pendulu matematiko bizkortzea da askotan esplorazio erabiltzen. Bere laguntzarekin mineral desberdinak bilatzeko. Besterik gabe, pendulu baten gorabeherak kopurua kontatuta, posible da ikatz edo mea detektatzeko Lurraren erraietan. Izan ere, baliabide horiek dentsitatea eta pisu arroka solteak azpian etzanda baino gehiago izan direlako.

Matematika pendulua esaterako jakintsu nabarmenak Socrates, Aristoteles, Platon, Plutarko, Archimedes gisa erabiltzen dute. Horietako asko uste mekaniko sistema hori patua eta bizitzaren eragiteko daitezke. Archimedes pendulu matematiko erabiltzen bere kalkuluak batera. Gaur egun, occultists eta psychics askok sistema mekaniko hau erabili du bere profezia ezartzeko, edo falta lagunentzako bilaketa egiteko.

Famatua frantses astronomoa eta zientzialari, Flammarion beraien ikerketarako pendulua matematiko bat ere erabili. haren laguntzarekin planeta berri baten aurkikuntza, Tunguska meteorito azaleratzea, eta beste gertakari garrantzitsu aurreikusteko gai izan zen zuela. Bigarren Mundu Gerran Alemaniako (Berlin) zehar pendulua institutu espezializatuak gisa lan egin zuen. Gaur egun, ikerketa, hala nola ez da eskuragarri Munich Institute Parapsikologia dira. Bere pendulua lan erakunde hau "radiesteziey" izeneko langileek.