Cramer-en araua eta bere aplikazioa

Cramer-en araua - ebazteko metodo zehatza da lineala aljebraiko ekuazioak (Slough) sistemei. Bere zehaztasuna sistemaren matrizearen determinatzaileak erabilera ondorioz, baita teorema froga batean ezarritako murrizketak batzuk.

koefiziente dagozkion dituzten ekuazio algebraiko linealen sistema bat, adibidez, R pluraltasuna - Ezezagunak x1 zenbakiak benetako, x2, ..., xn esamolde bilduma da

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = batekin BI i = 1, 2, ..., m, (1)

non Aij, bi - benetako zenbakiak. esamolde horietako bakoitzak deritzo ekuazio bat lineala, Ezezagunak koefiziente, bi - - Ekuazio koefiziente independente Aij.

(1) konponbide n dimentsioko bektore aipatzen x º = (x1 º, x2 º, ..., xn º), zein ordezkapen Ezezagunak x1 sistema sartu at, x2, ..., xn, sistema lerro bakoitzaren ekuazio onena bihurtzen .

Sistema koherentea deritzo irtenbide bat behintzat badu, eta sendotasunik, dator da irtenbidea multzo hutsa multzo batera bada.

Kontuan izan behar da, ordena Ekuazio lineal Cramer-en metodoa erabiliz sistemen irtenbideak bilatzeko ere, matrize-sistemak plazan izango da, funtsean Ezezagunak eta ekuazio sisteman kopuru bera esan nahi dute.

Beraz, Cramer-en metodoa erabiltzeko, gutxienez, jakin behar duzu zer Matrix da ekuazio algebraiko linealen sistema bat, eta jaulki zen. Eta, bestetik, zer matrizea eta bere kalkuluen gaitasunak propioa determinantea deritzo ulertzeko.

Demagun ezagutza hori edukitzeko suposatuko digu. Wonderful! Ondoren, besterik ikasi formulak Kramer metodoa zehazteko behar duzu. memorization erabili honako idazkera errazteko:

• Det - sistemaren matrizearen determinantea nagusia;

• Deti - Lehen sistemaren matrizearen lortutako i-garren matrizearen zutabe ordezkatuz zutabean bektore bat horren elementu eskuineko Ekuazio algebraiko lineala alboetan daude by matrizearen determinantea da;

• n - Ezezagunak eta ekuazio sisteman kopuruak.

Ondoren Cramer-en araua kalkuluen i-garren osagaia xi (i = 1, .. n) n dimentsioko bektore x honela idatz daiteke

xi = Deti / Det, (2).

Kasu honetan, Det zorrozki zero desberdinak.

sistemaren konponbidearen berezitasuna denean elkarrekin desberdintasuna sistemaren determinantea nagusia zero baldintza emandako. Bestela, (xi) batura, karratu bada, hertsiki positiboa, ondoren SLAE matrize karratu bat infeasible da. Hau bereziki denean gutxienez Deti nulua batean gerta daiteke.

1. adibidea. hiru dimentsioko LAU sisteman Cramer-en formula erabiliz konpontzeko.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4
5 x1 + x2 + x3 = 2 29
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Erabakia. behera idazten dugu sistemaren lerroz lerro, non Ai matrizea - i-garren matrizearen ilara da.
A1 = (1, 2, 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Zutabe doan koefiziente b = (31 29 10).

sistemaren nagusia determinantea Det da
Det = A11 a22 a33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 a22 A31 - A11 A32 A23 - a33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

permutazio kalkulatzeko erabiliko A11 = b1, A21 = b2, A31 = b3 det1. gero
det1 = b1 a22 a33 + A12 A23 b3 + A31 b2 A32 - A13 a22 b3 - b1 A32 A23 - a33 b2 A12 = ... = -81.

Era berean, erabilera det2 ordezkapen A12 = b1, a22 = b2, A32 = b3 kalkulatzeko, eta, horren arabera, det3 kalkulatzeko - A13 = b1, A23 = b2, a33 = b3.
135 - Gero det2 hori = -108, eta det3 = egiaztatu dezakezu.
formulak arabera Cramer aurkitu x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Erantzuna: x º = (3,4,5).

Arau hau aplikatzeko hartuta, Kramer konpontzen Ekuazio linealetako sistemen metodoaren zeharka erabil daiteke, adibidez, soluzioak parametro k balioa araberako kopuru on-sistemaren ikertzeko.

+ | | X + ky + 4 | <= 0 ditu zehazki konponbide bat - - y 4 kx | Adibidea 2. Zer balioak parametro k desberdintasun zehazteko.

Erabakia.
Desberdintasun hori, modulu funtzioaren definizioa egin daiteke bada bakarrik bi adierazpenak zero dira aldi berean. Beraz, arazo hau Ekuazio algebraiko linealen irtenbidea aurkitzeko murriztu

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Sistema honen konponbidea the determinantea nagusia bada bakarrik
Det = k ^ {2} + 1 nulua da. Argi dago baldintza hori parametro k benetako balioak guztientzat pozik.

Erantzuna: parametro k benetako balioak guztientzat.

mota honen helburuak ere izango dira murriztu daiteke arazo praktiko asko alorrean matematika, fisika edo kimika.